Brainteaser

[forceflow]

Een 2005x3 matrix A die enkel opgebouwd is met de elementen 1 en 0 kan geen singuliere waarde 40 hebben.

Juist of fout ?

[Alex Prinsier]

fout, kan geen singuliere waarde > sqrt(2005> hebben.

Neem bv een 2005x3 matrix met allemaal nullen behalve op de eerste kolom, voor de eerste 1600 rijen waar een 1 komt.

AtA heeft eigenwaarde 1600, dus singuliere waarde 40.

[Alex Prinsier]

Kan iemand die vragen 1.4 en 1.5 van het examen januari 2005 eens oplossen?

[quetzl]

1.4

FOUT
A=
(9 0)
(0 1/9)

=>det =1
singuliere waarde is 9 en 1/9

A=QR
AtA= Rt*Qt*Q*R = Rt*R
A en R hebben dus dezelfde niet-nul singuliere waarden.

1.5

FOUT(ook toevallig )

M=USVt met S enkel 1'n en 0'n
M+= VS^-1Ut ( in gereduceerde vorm welliswaar voor de inverse)
De D in S is een eenheidsmatrix en de inverse daarvan is dezelfde eenheidsmatrix.

De rang van de pseudoinverse van een projectiematrix is dus altijd gelijk aan de rang van de projectiematrix.

Voorbeeld:
M=
(1 0)
(0 1)

=> pseudoinverse

(1 0)
(0 1)

[yentlswolfs]

Oplossingen van vraag 1:
Alle polen van de overdrachtsfunctie moeten eigenwaarden van A zijn. Dit is niet zo in dit geval, maw, het is fout.

Vraag 2:
Fout, de niet-nul kolommen kunnen ook nog onderling lin afh zijn en vormen dus niet altijd een basis.

Bij 1.5 staat er nog een foutje in denk ik: moet het niet M+=V.S^-1.Ut zijn?

[quetzl]

jaja niet dat het wat uitmaakt want die zijn toch hetzelfde .

[yentlswolfs]

Wil iemand volgende brainteasers eens oplossen?

1)AtA is steeds positief semi-definiet.

2) Gegeven de m x n matrix A en de n x m matrix B. Als X = AY en Y=BX voor bepaalde m x 1 X en n x 1 Y, dan zijn alle eigenwaarden van AB en BA gelijk.


3) Gegeven: A en B zijn nxn matrices van rang n
Stelling: dan is ABA is van rang n



4) Als de QR factorizaties van twee m x n matrices dezelfde R hebben, dan hebben ze dezelfde singuliere waarden ontbindingen.

5)examen jan 2004: Als a een singuliere waarde is van een nxm matrix A en b een singuliere waarde is van een nxm matrix B, dan is 2a+3b steeds een singuliere waarde van de matrix 2A +3B.
Die stelling is fout, ik vind er direct een tegenvoorbeeld van, maar kan je dat ook algemeen bewijzen?

6)examen jan 2004: De rang van een nxn matrix A is gelijk aan het aantal van nul verschillende eigenwaarden en het aantal van nul verschillende singuliere waarden.
Hier zie ik direct in dat dat niet zo is. Als je allemaal van nul verschillende eigen- en singuliere waarden hebt, dan is je matrix van volle rang. Als je 1 eigen- en singuliere waarden hebt dan is je matrix van rang n-1. Maar wat als je meerdere 0 eigenwaarden en singuliere waarden hebt?

[quetzl]

1

JUIST

Staat op pagina 473 van Lay

2

JUIST

X = AY
Y=BX
=>X=ABX
=>Y=BAY
dus beide eenheidsmatrices en hebben dus eigenwaarden 1

3

Geraak ik niet wijs uit, kan maar geen tegenvoorbeeld vinden, of een bewijs. Ik vermoed dat dit juist is (alhoewel 3 juisten na elkaar wel heel onwaarschijnlijk is)

4
FOUT
Ze hebben dezelfde rechts rechts singuliere waarden maar verschillende links singuliere waarden. Bewijs staat ergens op rommeltrommelforum op toledo.

[yentlswolfs]

Bij 2: mag je daar uit X=ABX zomaar besluiten dat AB=I? dat is toch ongeveer hetzelfde als zeggen dat als AB=0 dat dan ofwel A ofwel B=0.

[quetzl]

Voor alle x geldt dat ABx = x => alle eigenwaarden zijn 1. En de enige matrix met allemaal eigenwaarden 1 is de eenheidsmatrix.

Btw ge moet alleen bewijzen dat alle eigenwaarden 1 zijn dus die laatste stap hoeft zelfs niet.