det=product eigenwaarden

[opperbanana]

wanneer is de determinant gelijk aan het product van de eigenwaarden van een matrix, bij sym matrices?

[yentlswolfs]

Altijd denk ik, maar ik ben er zeker van dat Quetzl dit beter kan beantwoorden

[quetzl]

inderdaad altijd:

Als A symmetrisch is kunnen we het orthogonaal diagonaliseren.(theorem 2 p451)
A is dan PDPt met P^-1=Pt
Als we dan de determinant nemen van A krijgen we de det(PDPt).
Volgens theorem 6 op pagina 196 is datgelijk aan detP*detD*detPt en dus even goed det(PPt)*detD.
En dat is dan det(I)*det(D)=det(D) en die is gelijk aan het product van uw eigenwaarden.

[yentlswolfs]

Voor diagonaliseerbare matrices geldt dus omwille van dezelfde reden, dat het product van de eigenwaarden gelijk is aan de determinant.

Trouwens kan je dat niet eenvoudiger bewijzen? Als je gewoon je kolommen normaliseert, dan wordt de determinant van P en Pt gelijk aan 1 en is het ietsje eenvoudiger.

Bij dat theorem 2: daar staat if and only if. Het klopt toch niet dat als je een matrix orthogonaal kan diagonaliseren, dat ie dan per se symmetrisch is??

[quetzl]

yentlswolfs said:

Voor diagonaliseerbare matrices geldt dus omwille van dezelfde reden, dat het product van de eigenwaarden gelijk is aan de determinant.

Trouwens kan je dat niet eenvoudiger bewijzen? Als je gewoon je kolommen normaliseert, dan wordt de determinant van P en Pt gelijk aan 1 en is het ietsje eenvoudiger.

Bij dat theorem 2: daar staat if and only if. Het klopt toch niet dat als je een matrix orthogonaal kan diagonaliseren, dat ie dan per se symmetrisch is??

Jaja det van P = Pt dus ze moeten dan ook wel allebei gelijk zijn aan 1, maar liever een stap te weinig dan weer nieuwe vragen.

En bij 2 is het wel zo dat wanneer een matrix orthogonaal diagonaliseerbaar is dat hij symmetrisch is. ALTIJD.

[nikos lygeros]

als A= PDP^-1, dan A^-1= (PDP^-1)^-1. (ik het het nu ni over orthonormale kolommen). uitgewerkt, geeft dit dan A^-1=P^-1DP?. als da zo is, dan is het bij orthogonaal diagonaliseren zo:A^-1= (PDP^-1)^-1= (PDPt)^-1= (PtDP), want P^-1=Pt...zit het zo
en ja yentl, als ge orthogonaal kunt diagonalisere, dan is hij symmetrisch. want dan alleen kan na gram schmidt ve vergelijking Ax=λx. ge moet maar eens probere bij ne niet-symmetrische matrix de eigenvectorruimte te orthogonalisere, en de eigewaarden passe nimeer bij die vectore. da lukt alleen dus bij ne symmetrische. want bij ne orthogonaal diagonaliseerbare, is de inverse de transpose, na normering(bij die P's). en als ge da uitwerkt, dan ziede dus da PDPt=A=At. en bij ne niet orth.diagonaliseerbare, daar zal Ainverse NIET gelijk zijn aan A transpose, wa dus impliceert da ge in die diagonalisering ook geen orthogonale kolommen kunt make....dus hij moet per se symmetrisch zijn, daarom staat die als en alleen als er.

[quetzl]

nikos said:

als A= PDP^-1, dan A^-1= (PDP^-1)^-1. (ik het het nu ni over orthonormale kolommen). uitgewerkt, geeft dit dan A^-1=P^-1DP?. als da zo is, dan is het bij orthogonaal diagonaliseren zo:A^-1= (PDP^-1)^-1= (PDPt)^-1= (PtDP), want P^-1=Pt...zit het zo

(mag enkel als A inverteerbaar !!)
Euh A^-1=(PDP^-1)^^-1 = (P^-1)^-1D^-1P^-1 = PD^-1P^-1 = PD^-1P^t(symmetrisch)

[hhjy]

quetzl said:

inderdaad altijd:

Als A symmetrisch is kunnen we het orthogonaal diagonaliseren.(theorem 2 p451)
A is dan PDPt met P^-1=Pt
Als we dan de determinant nemen van A krijgen we de det(PDPt).
Volgens theorem 6 op pagina 196 is datgelijk aan detP*detD*detPt en dus even goed det(PPt)*detD.
En dat is dan det(I)*det(D)=det(D) en die is gelijk aan het product van uw eigenwaarden.

dus alleen as em symetrisch is of alleen as em diagonaliseerbaar is?

[Niels Bosmans]

ge moet maar eens probere bij ne niet-symmetrische matrix de eigenvectorruimte te orthogonalisere, en de eigewaarden passe nimeer bij die vectore. da lukt alleen dus bij ne symmetrische.

das toch vreemd, ge weet dat als ge kunt diagonaliseren dat uw eigenvectoren lineair onafhankelijk zijn. Als ze lineair onafhankelijk zijn moet ge ze toch orthogonaal kunnen maken of niet?

[quetzl]

nee ge kunt gemakkelijk een schuin assenstelsel maken ...

[lygeros]

niels said:

ge moet maar eens probere bij ne niet-symmetrische matrix de eigenvectorruimte te orthogonalisere, en de eigewaarden passe nimeer bij die vectore. da lukt alleen dus bij ne symmetrische.

das toch vreemd, ge weet dat als ge kunt diagonaliseren dat uw eigenvectoren lineair onafhankelijk zijn. Als ze lineair onafhankelijk zijn moet ge ze toch orthogonaal kunnen maken of niet?

ge kunt die orthonormaal make mo do zedde niks mee.pakt bv zone niet symmetrische matrix n*n van rang n. ge weet da A NIET gelijk is aan A transpose, en A wordt ontbonden in P*D*P^-1. gij wilt uw eigenvectore in P orthonormaal make, wa tot gevolg heeft da P^-1=Pt. dus A=PDPt. nu wilde At berekene(waarvan ge weet da dieje matrix ni gelijk is aan A!) da geeft dus=At=(Pt)t*Dt*Pt=P*D*Pt=A. maar da kon dus ni, dus zo kunde bewijze da ge ne NIET-symmetrische matrix NIET orthogonaal kunt diagonalizere!