constructievragen

[jos]

Ik stel voor dat we hier de antwoorden van het extra blad met constructievragen zetten. De eerste 5 zijn niet zo moeilijk maar de rest wel.

[forceflow]

Goed plan, kzal der morgen een paar maken

[Walter]

goei plan, ik ga mij er ook is aanzetten

joekes

[quetzl]

1. Zoek een matrix A waarvan de nulruimte wordt voortgebracht door de vectoren (1,0,-2,1), (0,1,1,-2) en (2,1,-3,0).

Even op zicht:
De derde vector is 2 keer de eerste plus 1 keer de 2de vector. De 2de vector staat niet loodrecht op de 1ste vector.

Gram-Schmidt toepassen op de tweede vector. => (-2,-1,1,-4)

Zoek 2 vectoren die loodrecht staan op deze vectoren.
(2,-1,1,0) en (0,3,1,2).

A wordt gevormd door de vectoren (2,-1,1,0) en (0,3,1,2) al rij te nemen voor A. De twee laatste lijnen mogen lineaire combinaties van deze 2 vectoren zijn of gewoon nullen.

[quetzl]

2. Construeer de projectiematrix Q voor de 2-dimensionale deelruimte W deelruimte van R4 opgespannen door de vectoren (1,1,0,2) en (-1,0,0,1). Wat is de orthogonale projectie van de
vector (0,2,5,-1) op W?

De projectiematrix is een symmetrische matrix.
De vectoren (1,1,0,2) en (-1,0,0,1) moeten op zichzelf geprojecteerd worden en hebben dus eigenwaarde 1.
We passen Gram-Schmidt toe op deze 2 vectoren om 2 loodrechte vectoren te bekomen.
De bekomen vectoren zijn (1,0,0,-1) en (3,2,0,3).

(We zoeken nu 2 loodrechte vectoren op deze 2 vectoren, deze vectoren krijgen eigenwaarde 0.
We kunnen zo al de vector (0,0,1,0) zien. En (1,-3,0,1) is ook gemakkelijk te vinden.) Dit is niet nodig

We zoeken A vanuit de spectrale decompositie. A= 1/2*(1,0,0,-1)*(1,0,0,-1)t +1/22*(3,2,0,3)*(3,2,0,3)t.
We bekomen dan voor A:

[quetzl]

3. Construeer Q door middel van een QR{factorisatie vertrekkende van de matrix
A = ( cos(t) sin(t) )
( sin (t) 0 )

Volgens mij is er maar 1 mogelijkheid om één mogelijkheid om een loodrechte vector op ( cos(t) , sin(t) ) te krijgen en dat is ( -sin(t) , cos(t) ). En dan wordt Q gewoon de volgende rotatiematrix.
Q = ( cos(t) -sin(t) )
( sin (t) cos(t) )

[quetzl]

4. Vind de lijn die het best de punten (-1,1), (0,0.5), (1,2) en (1.5,2.5) benadert.

Gewoon de werkwijze van voorbeeld 1 op pagina 420 van de cursus volgen en dan bekom ik y= 147/118 + 40/59*x.

Wss weer een rekenfout maar het zij zo...

[quetzl]

5. Gegeven is de positief definiete symmetrische 4 x 4-matrix A met de eigenschappen:
(1; 0;-2; 0) is eigenvector bij eigenwaarde 3
(2; 1; 1; 0) is eigenvector bij eigenwaarde 1
A heeft een 3de eigenwaarde met algebraïsche multipliciteit 2 en det(A) = 75.
Bepaal A.

Omdat A een symmetrische matrix is is de determinant van A gelijk aan het product van de eigenwaarden. We vinden de 3de eigenwaarde uit x² = 75/(3*1). Deze is dus 5 en ze zijn beide positief daar A positief definiet is.

We hebben al 2 eigenvectoren gekregen, we zoeken 2 loodrechte eigenvectoren op (1, 0,-2, 0) en (2, 1, 1, 0).
Deze kunnen we op zicht vinden als (0,0,0,1) en (2,-5,1,0).

We construeren P uit de genormeerde eigenvectoren, en D uit de eigenwaarden. Je kan ze ook bepalen vanuit de spectrale decompositie. Mijn A is:

(29/15 -4/3 -8/15 0)
(-4/3 13/3 -2/3 0)
(-8/15 -2/3 41/15 0)
( 0 0 0 0)

Ook hier is een rekenfout heel reëel.

[Alex Prinsier]

quetzl said:

Gram-Schmidt toepassen op de tweede vector. => (-2,-1,1,-4)

Waarom Gram-Schmidt toepassen? Die 2 vectoren die ge vond staan ook loodrecht op de originele 2.

[quetzl]

6. Bestaat er een 4x4 rangdeficiënte, indefiniete, symmetrische matrix met eigenwaarden
1 en -2 waarvan de eigenruimte horende bij 1 voortgebracht kan worden door
(2,0,0,4) en (2,0,0,5) en waarvan de vector
(0,4,5,0) een linkse singuliere vector is bij een singuliere
waarde 2. Indien zo een matrix bestaat, vind ze dan.

We construeren de eigenwaardeontbinding van deze matrix. We hebben 2 eigenwaarden met 3 bijbehorende eigenvectoren. Voor de eigenvectoren bij eigenwaarde 1 vinden we 2 gemakkelijke loodrechte eigenvectoren. Namelijk (0,0,0,1) en (1,0,0,0). En bij eigenwaarde -2 vinden we (0,-4,-5,0). Omdat deze symmetrisch en rangdeficiënt is, hebben we nog een laatste vector met eigenwaarde 0, die we niet verder gaan uitwerken omdat deze toch wegvalt bij het construeren van de matrix.

Eig: 1 => (0,0,0,1) en (1,0,0,0).
Eig:-2 => (0,-4/wortel(41),-5/wortel(41),0)

Na uitwerken van PDPt bekom ik voor A

(1/5 0 0 2/5)
(0 -32/41 -40/41 0)
(0 -40/41 -50/41 0)
(2/5 0 0 7/5)

[quetzl]

Deze methode is FOUT lees op pagina 2 voor de juiste methode!
7. Reconstrueer A met behulp van de volgende gegevens: A heeft een dubbele eigenwaarde 2. Kolom twee bevat de B { coordinaten van Kolom drie met b1 = (-5; 2; 6), b2 = (3; 8; 6) en b3 = (2; 0;-8). De determinant van A is 36.

A heeft dubbele eigenwaarde 2 dus wanneer we (A-2I) nemen zijn de 3 rijën van elkaar afhankelijk. Zo kunnen we het stelsel terugbrengen tot één met 2 onbekenden (of 1 maar dan zit je met irritante breuken).
A=
(a -1 3a-6)
(2 e+2 6)
(2 e 8)

Als ik nu voorwaarde 2 toepas krijg ik een tegenstrijdigheid. Als iemand weet wat er verkeerd is zeg het maar, ik ga niet verder zoeken.

[quetzl]

8. Construeer de matrix A met rang 3, met de eigenwaarden 1, 3, 5 en 7 en met de
singuliere waarden 2 en 4.

Zowat de gemakkelijkste vraag allertijden , dit gaat dus niet . Alleen al de eigenwaarden 1, 3, 5 en 7 zeggen al dat er 4 onafhankelijke eigenvectoren moeten bestaan. Met singuliere waarden 2 en 4 er nog eens bij brengt ons dat op 6 lineair onafh verctoren. En dit is strijdig met het andere gegeven, namelijk rang = 3.

[quetzl]

9. Construeer een symmetrische 4 x 4 matrix met dubbele eigenwaarde 1 en dubbele eigenwaarde
2 en waarvan de eigenruimte bij de eigenwaarde 1 wordt opgespannen door
(1,1,1,1) en (1,1,0,0).

We nemen als eigenvectoren voor eigenwaarde 1 (1,1,0,0) en (0,0,1,1). En zoeken 2 loodrechte vectoren hierop: (1,-1,0,0) en (0,0,1,-1). Deze zullen dan als eigenwaarde 2 hebben.

Gewoon P en D opstellen en uitwerken. (kzie juist een rekenfout dus dan maar zonder uitwerking.)

aphexer said:

Waarom Gram-Schmidt toepassen? Die 2 vectoren die ge vond staan ook loodrecht op de originele 2.

Ik werk gemakkelijker met loodrechte vectoren, maar het is inderdaar niet nodig.

[quetzl]

10. Construeer (a) een driehoekige 4 x 4 matrix van rang 3 met dubbele eigenwaarde 0, (b)
een niet-driehoekige 4 x 4 matrix van rang 3 met dubbele eigenwaarde 0.

(a)

(1 1 1 1)
(0 0 1 1)
(0 0 0 1)
(0 0 0 1)

(b) kleine ingeving door HuiTzi (is eigenlijk heel gemakkelijk)

(1 0 0 0)
(1 1 0 1)
(1 0 0 0)
(1 0 1 0)

[Alex Prinsier]

Ik volg helemaal u redenering daar ni... (vraag 2). Kunt ge die is wa uitgebreider uitleggen?

Ik heb het anders gedaan (en kom iets anders uit):
Theorema 10 pagina 399 zegt da die matrix U*Tranpose(U) is waarbij de kolommen van U een ortonormale basis voor W bevat. En daarmee kom ik dus een andere (ook wel symmetrische) matrix uit

EDIT: niet bij mijn matrix, en ook ni bij den uwe, komt het uit da de matrix*gegeven vector terug diezelfde vector geeft (of ist een rekenfout?)

EDIT2: mijn matrix klopt wel was vergeten te normeren