constructievragen

[quetzl]

aphexer said:

Ik volg helemaal u redenering daar ni... (vraag 2). Kunt ge die is wa uitgebreider uitleggen?


EDIT: niet bij mijn matrix, en ook ni bij den uwe, komt het uit da de matrix*gegeven vector terug diezelfde vector geeft (of ist een rekenfout?)

hmm idd ik heb (1,-3,0,1) gepakt ipv (3,2,0,3), even verbeteren dan ...

Vectoren van R4 kunnen opgesplitst worden in een som van 2 vectoren. 1 uit W en 1 uit W(loodrecht).

Dus je geeft dat deel uit W eigenwaarde 1 en dat ander deel eigenwaarde 0.

[Sir Aarsglijbaan]

Bij vraag 4 bent ge vergeten te delen door den determinant. Soit doet er niet toe.
Bij vraag 6 snap ik niet goed hoe je aan die loodrechte eigenvectoren komt. Bij vraag 9 snap ik niet goed hoe je die eigenvectoren afleidt uit de gegeven eigenruimte.
Uitleg wordt met vreugde onthaald!!!

[Alex Prinsier]

quetzl said:

4. Vind de lijn die het best de punten (-1,1), (0,0.5), (1,2) en (1.5,2.5) benadert.

Gewoon de werkwijze van voorbeeld 1 op pagina 420 van de cursus volgen en dan bekom ik y= 147/8 + 10x.

Het is goed mogelijk dat ik een rekenfout heb gemaakt, maar de methode is niet moeilijk.

Ik heb y = 3 + 2,375x, maar ik kan ook een rekenfout hebben gemaakt

[Alex Prinsier]

quetzl said:

Omdat A een symmetrische matrix is is de determinant van A gelijk aan het product van de eigenwaarden.

Waar staat da juist?

[HuiTzi]

7. Reconstrueer A met behulp van de volgende gegevens: A heeft een dubbele eigenwaarde 2. Kolom twee bevat de B { coordinaten van Kolom drie met b1 = (-5; 2; 6), b2 = (3; 8; 6) en b3 = (2; 0;-8). De determinant van A is 36.

Je mag er niet van uitgaan dat de eigenruimte voortgebracht door de eigenvector(en) behorend tot eigenwaarde 2 van dim 2 is. Dus je kan alleen maar zeggen dat de 3de kolom van A, lin afhankelijk is van de 2 eerste kolommen. Hier mijn uitwerking :

Mijn onbekenden geef ik gewoon de naam a1 a2 ... a5 al naargelang ze voorkomen in de matrix, door telkens de 1ste kolom af te lopen en dan de 2de kolom af te lopen en dan de 3de.

Voorwaarde met B geeft 3 vgl:

a4 = 5 + 3*a2 + 2*a3
a5 = -2 + 8*a2
8 = -6 + 6*a2 - 8*a3

Voorwaarde met eigenwaarde 2 geeft 3 vgl met 2 extra onbekenden r en s buiten de a's:

A-2I : 3de kolom = r * 1ste kolom + s * 2de kolom

a1 - 2 = -r + s*a4
2 = r*(a2 - 2) + s*a5
2 = r*a3 + s*6

Voorwaarde met Det A = 36 geeft nog een extra voorwaarde, maar vermits deze zo lang is ga ik ze niet intypen.

Dit geeft dan een totaal van 7 vgl in 7 onbekenden. Dus het is oplosbaar. Maar kwil er niet aan beginnen zonder rekentoestel, of zelfs zonder Maple ...

Daarom denk ik dat er wel een eenvoudigere oplossing mogelijk is; wie weet hoe ?

Grtzz

[yentlswolfs]

Ik heb juist hetzelfde probleem Huitzi, genoeg vglen, maar iets te moeilijk om op te lossen.

[quetzl]

aphexer said:

quetzl said:

Omdat A een symmetrische matrix is is de determinant van A gelijk aan het product van de eigenwaarden.

Waar staat da juist?

een symmetrische matrix kunde orthogonaal diagonaliseren in PDPt en als je de det van die PDPt pakt krijg je det(PDPt) = det(D)*det(PPt)= det(D)

Sir said:

Bij vraag 4 bent ge vergeten te delen door den determinant. Soit doet er niet toe.
Bij vraag 6 snap ik niet goed hoe je aan die loodrechte eigenvectoren komt. Bij vraag 9 snap ik niet goed hoe je die eigenvectoren afleidt uit de gegeven eigenruimte.
Uitleg wordt met vreugde onthaald!!!

6
gewoon wat rekenwerk ...
(2,0,0,5) - (2,0,0,4) = (0,0,0,1)
(2,0,0,5) - 5*(0,0,0,1) = 2*(1,0,0,0)
9
(1,1,1,1) - (1,1,0,0) = (0,0,1,1)

[yentlswolfs]

Ik heb vraag 1 volledig anders opgelost, maar mijn oplossing klopt wel. Uw methode is wel een pak beter.

Bij vraag 2: waarom zeg je dat de projectiematrix een symmetrische is? Het blijkt uit uw oplossing wel dat het klopt, maar hoe weet je dat je daarvan mag uitgaan?
Waarom moeten die 2 vectoren op zichzelf afgebeeld worden? En kan je ook nog is wat meer uitleg geven waarom je juist die 2 vectoren eigenwaarden 1 en de 2 andere 0 geeft?

Bij vraag 3: ik heb dat geprobeerd met Gram Schmidt te vinden, maar ik kom iets heel raar uit. Ik zie ook wel in dat die tweede vector gewoon (-sint,cost) moet zijn, maar normaal zou G-S dit toch ook moeten leveren?

Bij vraag 5: hoe weet je dat je door het toevoegen van die 2 extra vectoren geen onderlinge afhankelijkheid creeert(aangezien je G-S niet toepast)?

Bij vraag 9: mag je zo maar zeggen: "Deze zullen dan als eigenwaarde 2 hebben. " ? Kan je dat op voorhand weten??

Bij vraag 10b: ik had een lichtjes andere matrix gevonde, maar dat is niet de vraag. Is er een mehtode die jij toepast om dat te vinden, of is dat gewoon wat proberen?

Heeft er iemand vraag 11 al gevonden? Ik heb al wat aan het proberen geweest, maar nu zit ik vast.

[Niels Bosmans]

7. Hier is de oplossing. Kheb het ongeveer op dezelfde manier gedaan zoals hier al uitgelegd is, en dan gewoon een waarde voor die onbekenden gekozen en geklommeld totdat ik opeens het licht zag .

A=

[Alex Prinsier]

quetzl said:

8. Construeer de matrix A met rang 3, met de eigenwaarden 1, 3, 5 en 7 en met de
singuliere waarden 2 en 4.

Zowat de gemakkelijkste vraag allertijden , dit gaat dus niet . Alleen al de eigenwaarden 1, 3, 5 en 7 zeggen al dat er 4 onafhankelijke eigenvectoren moeten bestaan. Met singuliere waarden 2 en 4 er nog eens bij brengt ons dat op 6 lineair onafh verctoren. En dit is strijdig met het andere gegeven, namelijk rang = 3.

Waarom zijn volgens u eigenvectoren van verschillende eigenwaarden lineair onafhankelijk? (tis ni gegeven dat de matrix symmetrisch is hé)

[quetzl]

yentlswolfs said:

Bij vraag 2: waarom zeg je dat de projectiematrix een symmetrische is? Het blijkt uit uw oplossing wel dat het klopt, maar hoe weet je dat je daarvan mag uitgaan?
Waarom moeten die 2 vectoren op zichzelf afgebeeld worden? En kan je ook nog is wat meer uitleg geven waarom je juist die 2 vectoren eigenwaarden 1 en de 2 andere 0 geeft?

Bij vraag 3: ik heb dat geprobeerd met Gram Schmidt te vinden, maar ik kom iets heel raar uit. Ik zie ook wel in dat die tweede vector gewoon (-sint,cost) moet zijn, maar normaal zou G-S dit toch ook moeten leveren?

Bij vraag 5: hoe weet je dat je door het toevoegen van die 2 extra vectoren geen onderlinge afhankelijkheid creeert(aangezien je G-S niet toepast)?

Bij vraag 9: mag je zo maar zeggen: "Deze zullen dan als eigenwaarde 2 hebben. " ? Kan je dat op voorhand weten??

Bij vraag 10b: ik had een lichtjes andere matrix gevonde, maar dat is niet de vraag. Is er een mehtode die jij toepast om dat te vinden, of is dat gewoon wat proberen?

Heeft er iemand vraag 11 al gevonden? Ik heb al wat aan het proberen geweest, maar nu zit ik vast.

2
Er moet geprojecteerd worden op W en de twee gekozen vectoren zijn daarvan een orthogonale basis. De projectiematrix is een symmetrische matrix omdat M² gelijk moet zijn aan M en dit kan enkel wanneer deze symmetrisch is, M²=PDPtPDPt= PD²Pt=PDPt=M. De eigenwaarden op de diagonaal van D moeten 1 of 0 zijn. 1 voor de waarden die opzichzelf geprojecteerd worden, nul voor de waarden die loodrecht op W staan (loodrecht in de oorsprong welliswaar...). Ik denk dat dat ook ergens in dat Layboek staat maar ik weet niet waar.

3
Het gaat over een 2D-ruimte, als je als 1ste vector (cos,sin) is er nog maar 1 mogelijkheid om een loodrechte te vinden. En dus pak je gewoon (-cos,sin). Gram-Schmidt is gewoon een methode om ze loodrecht te krijgen als je het zelf niet kan zien of als er meerdere mogelijkheden zijn.(denk/vind ik)

5
Weet ik niet, en ik ben daar dus verkeerd met die oefening, maar aangezien het veel te veel rekenwerk is om opnieuw uit te werken op de juiste methode ben ik er niet aan begonnen.

9
Het is een symmetrische 4x4 matrix, alle eigenwaarden zijn gekend en de eigenruimte bij 1 van die eigenwaarden is gekend. En omdat de matrix symmetrisch is staan de eigenruimten behorende bij andere eigenwaarden loodrecht op elkaar. En omdat de maximale rang 4 is, zijn er dus ook maar 4 onafhankelijke eigenvectoren mogelijk.

10
Er zijn inderdaad meerdere mogelijkheden. De techniek is gewoon proberen om als determinant enkel de diagonaal te bekomen. Bij (a) is dit niet zo moeilijk.
Bij bij gewoon een 4 x 4 matrix opschrijven en af en toe een nul of een 1 zetten .

aphexer said:

quetzl said:

Waarom zijn volgens u eigenvectoren van verschillende eigenwaarden lineair onafhankelijk? (tis ni gegeven dat de matrix symmetrisch is hé)

Ze zijn lineair onafhankelijk, niet loodrecht op elkaar.
Lees theorem 2 op pagina 307.
If v1,......,vr are eigenvectors that correspondto distinct eigenvalues L1,.......,Lr of an n x n matrix A, then the set is linearly independent.

[quetzl]

niels said:

7. Hier is de oplossing. Kheb het ongeveer op dezelfde manier gedaan zoals hier al uitgelegd is, en dan gewoon een waarde voor die onbekenden gekozen en geklommeld totdat ik opeens het licht zag .

A=

Algebra en Sudoku

Btw kwas al eens aan 11 begonnen maar mijn R kwam toen niet goed uit. Kzal die nog eens opnieuw maken morgen. Mss dat ik het dan zie. Ik was vanuit eigenwaardeontbinding vertrokken maar zo kwam die niet uit.

[Alex Prinsier]

quetzl said:

8. Construeer de matrix A met rang 3, met de eigenwaarden 1, 3, 5 en 7 en met de
singuliere waarden 2 en 4.

Zowat de gemakkelijkste vraag allertijden , dit gaat dus niet . Alleen al de eigenwaarden 1, 3, 5 en 7 zeggen al dat er 4 onafhankelijke eigenvectoren moeten bestaan. Met singuliere waarden 2 en 4 er nog eens bij brengt ons dat op 6 lineair onafh verctoren. En dit is strijdig met het andere gegeven, namelijk rang = 3.

Hoe brengt ge dan de rang=3 in verband met het aantal onafhankelijke eigenvectoren = 6?

[quetzl]

aphexer said:

Hoe brengt ge dan de rang=3 in verband met het aantal onafhankelijke eigenvectoren = 6?

Awel als uw rang 3 is, is de basis van uw matrix van dimensie 3. En 3 onafhankelijke vectoren vormen dan een basis voor uw kolomruimte. Als ge dan 6 onafhankelijke eigenvectoren zou moeten hebben, gaat dit niet, zeker niet omdat ze allemaal verschillend zijn van nul.

Het is gewoon ONMOGELIJK.

[Alex Prinsier]

moesten het 6 vectoren uit de kolomruimte zijn, akkoord, maar het gaat hier om vectoren uit de eigenruimte Wat is het verband tussen de kolomruimte en de eigenruimte? Kzie het toch ni direct ze