constructievragen

[yentlswolfs]

Ik zie ook geen rechtstreeks verband. Maar ik denk wel dat het volgende klopt:
A heeft minstens 6 eigenvectoren, je kan dan bijvoorbeeld een 6x6 matrix makenen diagonaliseren. Dit gaat altijd want, je hebt 6 verschillende eigenwaarden.
A=PDP^-1
Aangezien de rang van A gelijk is aan de rang van D, kan je dus nooit een rang 3 matrix krijgen, want de rang van D is 6.

Ik weet wel niet zeker of die laatste stap volledig weer is en ik weet helemaal niet hoe ik hem zou moeten aantonen.

[forceflow]

Mja quetzl, het is toch A maal een eigenvector die basissen maken voor uwe kolomruimte, niet de eigenvectoren zelf.

[Niels Bosmans]

het is ook niet zo dat als er 4 eigenwaarden gegeven zijn en 2 singuliere waarden dat er 6 eigenwaarden zijn. A heeft 4 eigenwaarden. Uit AtA volgen 2 singuliere waarden. maar het wil toch niet zeggen dat als er 2 singuliere waarden zijn die niet trekken op de eigenwaarden van A dat die ook als eigenwaarden geteld mogen worden???

Mijn redenering was zo:
dim NulA = 0 want er zijn geen eigenwaarden 0

dim NulA + rang A = n
0 + 3 = 3

je zou dan 3 kolommen hebben, en 4 eigenwaarden. Dit is onmogelijk.

[quetzl]

Nee idd, maar dan nog kan het niet

Als uw rang 3 is kunde toch nooit meer dan 3 niet-nul eigenvectoren vinden die lin onafh zijn, enfin ik ga stoppen over deze vraag, kvoel me der vreselijk slecht bij.

[yentlswolfs]

7. Hier is de oplossing. Kheb het ongeveer op dezelfde manier gedaan zoals hier al uitgelegd is, en dan gewoon een waarde voor die onbekenden gekozen en geklommeld totdat ik opeens het licht zag .

Hoe heb je dat dan juist gedaan? Gewoon 1 onbekende een bepaalde waarde gegeven en de rest uitgerekend ofwat?

Bij vraag 2: Als je dan je matrix A gevonden hebt, wat moet je dan nog doen voor de projectie van die vector op W te vinden? Is dat dan gewoon vermenigvuldigen? Ik heb de theorie daar over al is bekeken(blz 453), maar ik geraak er niet wijzer uit.

Zoals ik zei, heb ik vraag 3 met G-S geprobeerd: dit kom ik uit voor v2
v2= [ sin t ] - sin t * cos t [cos t ]
____[ 0 ]_______________[ sin t ]

Als ik dit verder uitreken, kom je iets met de wortel van 1+cos²t uit. Waar zit de fout?


Ik heb vraag 11 ook is geprobeerd. Ik heb eerst 3 vectoren loodrecht op (1,1,1,1) gezocht(op zicht):
(-1,1,0,0),(0,0,1,-1) en (0,-1,1,0).
Dan heb ik dus al Q en S kunnen opstellen. S kon je gewoon rechtstreeks uit het gegeven opstellen.
Dan heb ik het volgende gedaan om een verband te zoeken de SWO en de QR ontbinding:
A=USVt=QR
Maar nu zit ik vast, ik vind nog wel een verband voor de determinant, maar daar ben je niets mee. Hoe ga je nu verder?

[quetzl]

Kweet niet goed bij die vraag 11 komt R bij mij om de één of andere reden niet uit op een bovendriehoeksmatrix, en ik ben er dus maar mee gestopt.

En voor vraag 3 kan Gram schmidt voor mij de pot op, er is maar 1 vector die loodrecht staat op die eerste vector dus neemt die dan gewoon ...

[yentlswolfs]

[driesss]

vraag 11 los je op via orthogonaal diagonalizeren. De eerste drie kolommen van P staan looderecht op (1111), dit zijn dan (-1 1 0 0 ) (-1 0 1 0) en (-1 0 0 1). Als diagonaal matrix neem je dan de eigenwaarden op de diagonaal. Nu moet nog de vierde vector van P gekozen worden, hiervan weet men dat hij lineair onofhankelijk moet zijn van de andere drie en dat D*P(transpose) bovendriehoeks moet zijn. Mits een beetje inzicht kan je dan besluiten dat de vierde vector (1 0 0 0) is. Nu moet je nog normalizeren en uitrekenen.

[yentlswolfs]

Ah, nu zie ik het. Ik wou een singuliere waardenontbinding bekomen, maar met een spectrale decompositie is het veel gemakkelijker.

Oh ja en een vierde vector die loodrecht staat op 3 vectoren die loodrecht staan op (1,1,1,1) is dus gewoon (1,1,1,1). Maar uw vierde vector staat wel niet loodrecht op de ander drie.

Gewoon de absolute waarde van de singuliere waarden pakken als eigenwaarden(dat maakt in dit geval dus niet uit).

Als je die drie vectoren nu eerst zet in je P matrix en dan D.Pt uitrekent, krijg ik bijna een driehoeksmatrix op enkele elementen na. Hoe komt het dat het dan bij jou wel bovendriehoeks is?

[quetzl]

driesss said:

vraag 11 los je op via orthogonaal diagonalizeren. De eerste drie kolommen van P staan looderecht op (1111), dit zijn dan (-1 1 0 0 ) (-1 0 1 0) en (-1 0 0 1). Als diagonaal matrix neem je dan de eigenwaarden op de diagonaal. Nu moet nog de vierde vector van P gekozen worden, hiervan weet men dat hij lineair onofhankelijk moet zijn van de andere drie en dat D*P(transpose) bovendriehoeks moet zijn. Mits een beetje inzicht kan je dan besluiten dat de vierde vector (1 0 0 0) is. Nu moet je nog normalizeren en uitrekenen.

Hoe kan je nu orthogonaal diagonaliseren als uw kolommen niet loodrecht op elkaar staan?

[dark age]

magie

[guest]

wat betekent rangdeficient eigenlijk?
bedankt

[yentlswolfs]

Dat je matrix niet de maximale rang heeft, die ze zou kunnen hebben als alle vectoren onafhankelijk waren.
Maw: maximale rang is n, dus een rangdeficiente matrix heeft een rang minder dan n

Quetzl zeg eens hoe je die vraag 11 dan wel oplost. Ik vraag geen uitgewerkt antwoord, ik wil gewoon de redenering en de methode weten.

merci

[quetzl]

Volgens mij gewoon Q opstellen met loodrechte kolommen: (en normaliseren)

Kol1: (1, -1, 0 , 0)
Kol2: (0, 0, -1 , 1)
Kol3: (1, 1, -1, -1)
Kol4: (1, 1, 1, 1)

Vermenigvuldigen met een diagonaalmatrix met (4,3,2,1) op de diagonaal. (singuliere waarden van R zijn gelijk aan die van A, geen zin om bewijs te geven ...)

en dan heb je een matrix die je dan, denk ik, kan ontbinden in Q en R en die zou dan moeten kloppen ...

Eigen veel te gemakkelijk.

[yentlswolfs]

Uw kolommen staan wel niet allemaal loodrecht Ze staan allemaal loodrecht op (1,1,1,1), maar onderling niet en dat is wel nodig voor een QR-factorisatie.

Ik snap wel wat je doet, maar als je vertrekt van A=QR=U.S.Vt, hoe kan je dan Q.S doen? Of vertrek jij vanuit een ander verband?

PS: Dat bewijs waar je geen zin in had is Ata=RtQtQR=RtR, maar da maakt nu weinig uit eigenlijk.